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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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4. Dada la función f(x)=x2∣x∣+x3+1x2+3xf(x)=\frac{x^{2}|x|+x^{3}+1}{x^{2}+3 x}, analizar la existencia de asíntotas horizontales u oblícuas para el gráfico de esta función.

Respuesta

Asíntotas horizontales

Como siempre, lo primero que hago es entender cómo voy a escribir esa cosa con módulo. Acordate que si xx es positivo, entonces ∣x∣=x|x| = x y si xx es negativo ∣x∣=−x|x| = -x. Entonces, mucha atención como voy a escribir la función cuando tome el límite a +∞+\infty y a −∞-\infty:

lim⁡x→+∞ x2⋅x+x3+1x2+3x= lim⁡x→+∞ x3+x3+1x2+3x=  lim⁡x→+∞ 2x3+1x2+3x\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}\cdot x+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} =  \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^{2}+3 x}

Y este límite nos da +∞+\infty, lo justificamos sacando factor común el que manda. ¿Te animás a subirme una foto de tu hoja mostrándome cómo te quedo cuando sacaste factor común ahí y por qué efectivamente da +∞+\infty? Mejor equivocarse ahora en un entorno seguro que en unas semanas adentro del parcial digo yo 😝

Vamos ahora en −∞-\infty

lim⁡x→−∞ x2⋅(−x)+x3+1x2+3x= lim⁡x→−∞ −x3+x3+1x2+3x= lim⁡x→−∞ 1x2+3x=0\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}\cdot (-x) +x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2}+3 x} = 0

Muy bien, entonces... nuestra función tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 en −∞-\infty. Como en +∞+\infty la función se está yendo a +∞+\infty podría ser que se esté pegando a una asíntota oblicua, vamos a averiguarlo. 

Asíntota oblicua

Sabemos que nuestra asíntota oblicua es de la forma y=mx+by = mx +b. Arrancamos viendo si existe mm

Aclaración: Como estamos en el caso xx tendiendo a +∞+\infty fijate que sigo usando la expresión para x>0x > 0 ;)

m=lim⁡x→+∞f(x)x m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}

m=lim⁡x→+∞2x3+1x2+3xx= lim⁡x→+∞2x3+1x(x2+3x)=lim⁡x→+∞2x3+1x3+3x2=2 m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x^3+1}{x^2+3x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x(x^2+3x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^3+3x^2} = 2

Invito a quien quiera a dejar abajo una foto de su hojita justificando por qué este límite da 22 (sacando factor común "el que manda") 😄

Ahora calculamos la ordenada al origen bb

b=lim⁡x→+∞(f(x)−mx) b = \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - mx \right)
lim⁡x→+∞(2x3+1x2+3x−2x) \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^3+1}{x^2+3x} - 2x \right)

lim⁡x→+∞2x3+1−2x3−6x2x2+3x \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1 - 2x^3 - 6x^2}{x^2+3x}
lim⁡x→+∞1−6x2x2+3x=−6 \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 6x^2}{x^2+3x} = -6

(Y si, ya que estamos aprovechá y dejame también este límite ¿por qué da −6-6?) 

Por lo tanto, b=−6b = -6 y llegamos a la conclusión que y=2x−6y = 2x - 6 es asíntota oblicua de ff en +∞+\infty.

Espero las fotitos de sus hojassss 🙂
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Valentino
17 de julio 7:22
hola flor, estoy practicando de nuevo los ejercicios para el final y tengo una duda con este, cuando ya tenes la formula de la A.O, no tenes q comprobar q da 0? osea q lim cuando x tiende a +inf de f(x) - (mx+b) = 0?
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Flor
PROFE
17 de julio 9:50
@Valentino Hola Valen! A vos te dijeron que al final tenías que hacer esa verificación? O sea, si, ese límite tendría que dar cero, pero sería medio redundante, porque fijate que vos acá cuando calculaste la ordenada al origen bb planteaste:

b=lim⁡x→+∞f(x)−mx b = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx

y resolviste este límite. Esto es equivalente a (si pasas la bb restando para la derecha)... 

0=lim⁡x→+∞f(x)−mx−b 0 = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx - b

que ese límite te de cero... ¿se entiende? 

Qué buena noticia que llegaste a final! Un alumno me pasó un pdf con un montón de finales de Palacios Puebla para practicar, que se ve que lo armó algún profe, mandame un mail a florcutraro@gmail.com así te lo paso por si no lo tenés, y si podés ponelo a circular y compartiselo a todos tus compañeros si tienen algún grupo de WhatsApp que seguro les va a venir bien :)
0 Responder
Valentino
17 de julio 16:21
aahhh okey okey, nono, no me habian dicho q tenia q verificar, solo era una duda porq no lo entendia yo. Gracias florr, ahi te mando por mail
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